듀구) 간단한 수학질문

유리수와 유리수의 사칙연산으로는 무리수가 나올 수 없습니다. 유리수가 사칙연산에 대해 닫혀있기 때문입니다. 그런데 무리수간의 사칙연산으로는 유리수가 나올수 있습니다. 루트2와 마이너스 루트2를 더하면 0이니까요. 다른 연산에 대해서도 모두 가능합니다.

유리수가 닫혀있다는 걸 증명하는 건 쉽습니다. 유리수의 정의가 a/b(a,b는 정수)로 표현할 수 있다는 거니까요.
a/b + c/d = (ad + bc)/bd이니까 여기서 분자, 분모가 정수가 되는 걸 보이면 됩니다. 나머지 연산도 마찬가지.
무리수간의 사칙연산으로 유리수가 나오는 건 각각에 대해 반례를 들면 됩니다. (루트2*루트2는 2죠.)

원하시는 경우는 아니겠지만, 유리수를 무한히 더하면 무리수가 나오기도 합니다.
예를들면,
pi/4=1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ...
pi^2/12=1 - 1/4 + 1/9 - 1/16 + 1/25 - ...
pi^2/6=1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + ...
pi^2/8=1 + 1/9 + 1/25 + 1/49 + ...
pi^2/24=1/4 + 1/16 + 1/36 + 1/64 + ...